שאלה| משפט בגאומטריה

צלע שיוצאת מ90 מעלות חוצה את הצלע שהיא נפגשת איתה ושווה למחציתה (במשולש). יש כזה משפט?

או במושגים של בני אדם:
במשולש ישר זוית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
הטענה הזו נכונה, ולדעתי היא גם מנוסחת כמשפט. בכל מקרה, הנה כיוון אפשרי להוכחה: המשך את התיכון כאורכו, השלם את זה לעוד משולש, והעזר בחפיפת משולשים.

[QUOTE=LordAbizi;1277948]או במושגים של בני אדם:
במשולש ישר זוית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
הטענה הזו נכונה, ולדעתי היא גם מנוסחת כמשפט. בכל מקרה, הנה כיוון אפשרי להוכחה: המשך את התיכון כאורכו, השלם את זה לעוד משולש, והעזר בחפיפת משולשים.[/QUOTE]

תודה רבה, היה לי היום מבחן במתמטיקה ולא ידעתי אם זה נכון או לא..
אם נתון לי משולש ישר זווית וממנו יוצאת צלע הנוגעת ביתר, והצלע שווה למחצית היתר (אם הסתבכת, ראה תמונה), זה נכון לרשום את המשפט הזה כדי ליצור משולש שווה שוקיים?

[URL=http://www.siz.co.il/][IMG]http://up353.siz.co.il/up3/zzywiwznrnyz.bmp[/IMG][/URL]

זה יהיה ממלא משולש שווה שוקיים כי אמרת שמחצית הצלע שווה לקטע הנפגש ביתר.

[quote=Skyfall;1277971]תודה רבה, היה לי היום מבחן במתמטיקה ולא ידעתי אם זה נכון או לא..
אם נתון לי משולש ישר זווית וממנו יוצאת צלע הנוגעת ביתר, והצלע שווה למחצית היתר (אם הסתבכת, ראה תמונה), זה נכון לרשום את המשפט הזה כדי ליצור משולש שווה שוקיים?

[URL="http://www.siz.co.il/"][IMG]http://up353.siz.co.il/up3/zzywiwznrnyz.bmp[/IMG][/URL][/quote]
לא הבנתי את השאלה. אתה יכול להגיד שנוצר משולש שווה שוקיים, כי יש שם אחד כזה, וזה לא קשור למשפט. בכל מקרה המשפט הזה אינו תקף כאן, כי אתה לא יודע האם זה תיכון.
עם זאת, יש משפט הפוך -
אם במשולש ישר זוית, מהקדקד של הזוית הישרה יוצא קטע שחותך את היתר, ואורך הקטע הזה הוא מחצית אורך היתר, אז הקטע הזה הוא תיכון.
כאן ההוכחה קצת יותר מסובכת ואני אביא אותה במלואה:
נניח שיש את הציור שלך. לזוית הישרה נקרא A, לקדקד המשאלי נקרא B לימני C ולאמצעי D.
ובכן, נעביר תיכון ליתר BC, שנקרא לו AE. נניח בשלילה שהנקודה E ו-D אינה אותה נקודה. שניהן על הקטע BC, ונניח ש-D היא שמאלה יותר (ההוכחה אם E שמאלה יותר, אנאלוגית). מהמשפט הישיר שהוכחנו קודם נובע ש-AE = BC/2 = AD (השיוויון על AD הוא מהנתון). לפי כך משולש DAE שווה שוקיים, וזויות D ו-E שבתוך המשולש הזה שוות. אך מהמשפט שזוית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות שאינן צמודות לה, נובע שזוית D שבתוך המשולש הקטן שווה לזוית B + חלק של זוית A. אך מזה ש-AE הוא תיכון, נובע ש-AE = AB (BE הוא חצי הצלע BC), ומכאן שזוית B שווה לזוית E שבתוך המשולש הקטן. אך זוית E הזו שווה לזוית D, ולכן אם נציב זאת בשיוויון ממקודם נקבל שזוית D שווה לזוית D + חלק מזוית A, ולכן החלק מזוית A הוא אפס, וזה לא ייתכן. המסקנה היא ש-D ו-E הן אותה נקודה, ולכן הקטע AD הוא בדיוק הקטע AE, ולכן AD הוא התיכון לצלע BC.
הוכחנו אפוא, שאם קטע יוצא מהזוית הישרה ושווה למחצית היתר, הוא בהכרח התיכון, כנדרש.

[QUOTE=LordAbizi;1277984]לא הבנתי את השאלה. אתה יכול להגיד שנוצר משולש שווה שוקיים, כי יש שם אחד כזה, וזה לא קשור למשפט. בכל מקרה המשפט הזה אינו תקף כאן, כי אתה לא יודע האם זה תיכון.
עם זאת, יש משפט הפוך -
אם במשולש ישר זוית, מהקדקד של הזוית הישרה יוצא קטע שחותך את היתר, ואורך הקטע הזה הוא מחצית אורך היתר, אז הקטע הזה הוא תיכון.
כאן ההוכחה קצת יותר מסובכת ואני אביא אותה במלואה:
נניח שיש את הציור שלך. לזוית הישרה נקרא A, לקדקד המשאלי נקרא B לימני C ולאמצעי D.
ובכן, נעביר תיכון ליתר BC, שנקרא לו AE. נניח בשלילה שהנקודה E ו-D אינה אותה נקודה. שניהן על הקטע BC, ונניח ש-D היא שמאלה יותר (ההוכחה אם E שמאלה יותר, אנאלוגית). מהמשפט הישיר שהוכחנו קודם נובע ש-AE = BC/2 = AD (השיוויון על AD הוא מהנתון). לפי כך משולש DAE שווה שוקיים, וזויות D ו-E שבתוך המשולש הזה שוות. אך מהמשפט שזוית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות שאינן צמודות לה, נובע שזוית D שבתוך המשולש הקטן שווה לזוית B + חלק של זוית A. אך מזה ש-AE הוא תיכון, נובע ש-AE = AB (BE הוא חצי הצלע BC), ומכאן שזוית B שווה לזוית E שבתוך המשולש הקטן. אך זוית E הזו שווה לזוית D, ולכן אם נציב זאת בשיוויון ממקודם נקבל שזוית D שווה לזוית D + חלק מזוית A, ולכן החלק מזוית A הוא אפס, וזה לא ייתכן. המסקנה היא ש-D ו-E הן אותה נקודה, ולכן הקטע AD הוא בדיוק הקטע AE, ולכן AD הוא התיכון לצלע BC.
הוכחנו אפוא, שאם קטע יוצא מהזוית הישרה ושווה למחצית היתר, הוא בהכרח התיכון, כנדרש.[/QUOTE]

אוקי, נגיד וניקח את הציור שלי, לפי מה שאמרת אני יכול להגיד שDC שווה לAD כן?

[quote=Skyfall;1277987]אוקי, נגיד וניקח את הציור שלי, לפי מה שאמרת אני יכול להגיד שDC שווה לAD כן?[/quote]
כן.
אם הנתונים בציור שלך הם ש-AD = BC/2, וש-A זוית ישרה, אז אכן מהמשפט שהוכחתי נובע ש-AD תיכון, ולכן D היא אמצע BC, ולכן DC הוא BC/2 ומכאן השיווין שלך.

[QUOTE=LordAbizi;1277993]כן.
אם הנתונים בציור שלך הם ש-AD = BC/2, וש-A זוית ישרה, אז אכן מהמשפט שהוכחתי נובע ש-AD תיכון, ולכן D היא אמצע BC, ולכן DC הוא BC/2 ומכאן השיווין שלך.[/QUOTE]

פיו, הרגעת אותי. תודה! :)