בעיה|גיאומטריה אנליטית

טוב אז יש לי בעיה כזאת:
[quote]הוכח ללא מחשבון, בעזרת חישוב המרחק בין שתי נקודות, שהנקודות (4, 2), (1-, 8-) ו-(3, 0) נמצאות על ישר אחד.[/quote]
ניסיתי את הנוסחא של חישוב מרחק את כל אחד מהזוגות האפשריות כאן, ובכולם יצא לי מספר לא שלם, וגם אין לי מושג איך לדעת אם זה על אותו ישר, כי לא קיים יחס של נקודת אמצע בין השניים האחרים.
יצא לי ביחס בין (4, 2), (1-, 8-) שורש של 125
יצא לי ביחס בין (4, 2), (3, 0) שורש של 5
יצא לי ביחס של (3, 0), (1-, 8-) שורש של 80
אז איך פותרים את זה?

[quote=Brook;1384638]טוב אז יש לי בעיה כזאת:

ניסיתי את הנוסחא של חישוב מרחק את כל אחד מהזוגות האפשריות כאן, ובכולם יצא לי מספר לא שלם, וגם אין לי מושג איך לדעת אם זה על אותו ישר, כי לא קיים יחס של נקודת אמצע בין השניים האחרים.
יצא לי ביחס בין (4, 2), (1-, 8-) שורש של 125
יצא לי ביחס בין (4, 2), (3, 0) שורש של 5
יצא לי ביחס של (3, 0), (1-, 8-) שורש של 80
אז איך פותרים את זה?[/quote]
אם הן לא היו על אותו ישר, אז היה משולש שהן היו הקדקדים שלו. ידוע לך שסכום שתי צלעות במשולש גדול מהצלע השלישית.
עכשיו, אתה יודע ש-80 זה 16 כפול 5, ו-16 זה ארבע בריבוע, ולכן שורש של שמונים זה 4 כפול שורש חמש. בצורה דומה, 125 זה 5 כפול 25, כש-25 זה 5 בריבוע, ולכן זה 5 שורש חמש. לכן, מכיוון ש- 5 שורשים של חמש = 4 שורשים של חמש + שורש של חמש, נובע שיש צלע שהיא לא גדולה יותר מסכום הצלעות האחרות, ולכן לא ייתכן שהנקודות האלו אינן על ישר אחד, כלומר הנקודות האלו בהכרח על אותו ישר.
כנדרש.

זה מה שכתבתי (אחרי התרגיל עצמו), הבנתי נכון?
[quote]הם חייבים להיות על ישר אחד כי אם לא הם ירכיבו משולש, ומכיוון שלא קיים משולש שסכום 2 צלעות לא גדולות מה-3, הם על ישר אחד.[/quote]

[quote=Brook;1384658]זה מה שכתבתי (אחרי התרגיל עצמו), הבנתי נכון?[/quote]
זה בגדול הפתרון. תציג גם את החישוב שמוכיח שאם היה משולש, אז היו שתי צלעות שהסכום שלהן שווה (ולכן לא גדול יותר מ-)השלישית.
ו-'להרכיב משולש' זה לא ניסוח מדוייק כל כך. האהבה העצמית שלי אומרת שעדיף להגיד 'היה משולש שהם היו הקדקדים שלו'. אבל תעשה מה שאתה רוצה.