מידע| נגזרת

הנגזרת היא פעולה שנועדה למספר שימושים שונים:

*חישוב שיפוע משיק של פונקציה בנקודה מסויימת או מספר נקודות.
*מציאת נקודות קיצון של הפונקציה ופיתול.

[IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20f%27%28x_0%29%3Dm%20[/IMG] כאשר m שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה שבה [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20x%3Dx_0%20[/IMG]


[CENTER][SIZE=4][B][U]נגזרת פולינום( רב איבר)[/U][/B][/SIZE]
הפונקציה [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20f%28x%29%20%3D%20mx%5En%20[/IMG] אזי נגזרתה נתונה על ידי : [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20f%27%28x%29%3Dn%20%5Ccdot%20mx%5E%7Bn-1%7D%20[/IMG] [/CENTER]



[LIST][*] פולינום מסדר אפס : [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20f%28x%29%3Da%20[/IMG] אזי : [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20f%27%28x%29%3D0%20[/IMG][/LIST]

[LIST][*] פולינום מסדר ראשון : [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20f%28x%29%20%3Dax%2Bb%20[/IMG] אזי : [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20f%27%28x%29%3D%20a%20[/IMG][/LIST]

[LIST][*] תהי [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20f%28x%29%20%3D%205x%5E4%20[/IMG] אזי : [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20f%27%28x%29%3D%2020x%5E3%20[/IMG][/LIST]
כמו כן, אם נגדיר פונקציה חדשה : [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20g%28x%29%20%3D5%20%5Ccdot%20f%28x%29%20[/IMG] אזי קבוע המוכפל בפונקציה נשאר במקומו ולא משתנה, כלומר : [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20g%27%28x%29%20%3D%205%20%5Ccdot%20f%27%28x%29%20[/IMG] .





דוגמאות:


[LEFT]y=x^5+66

y'=5x^4

y=6x^2+2x+5
y'=12x+2

[CENTER][SIZE=4][B][U]גזירת סכום והפרש פונקציות[/U][/B][/SIZE]

[IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20h%28x%29%20%3D%20f%28x%29%20%5Cpm%20g%28x%29%20[/IMG]
אז : [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?h%27%28x%29%20%3D%20f%27%28x%29%20%5Cpm%20g%27%28x%29%20[/IMG]

[B][U]
[SIZE=4]נגזרת מכפלה[/SIZE][/U][/B]

גזרת מכפלת שתי פונקציות נתונה על ידי הנוסחא :

[LEFT] [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Bf%28x%29%20%5Ccdot%20g%28x%29%5D%27%3Df%27%28x%29%20%5Ccdot%20g%28x%29%2Bf%28x%29%5Ccdot%20g%27%28x%29%20[/IMG]
[/LEFT]


*גוזרים את הפונקציה הראשונה ומכפילים בשנייה ומחברים עם הפונקציה הראשונה כפול הנגזרת של הפונקציה השנייה .

[SIZE=4][B][U]נגזרת מנה[/U][/B][/SIZE]

נגזרת המנה שתי פונקציות נתונה על ידי הנוסחא :

[LEFT] [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%5B%5Cfrac%7Bf%28x%29%7D%7Bg%28x%29%7D%5D%27%3D%5Cfrac%7Bf%27%28x%29%20%5Ccdot%20g%28x%29%20-%20f%28x%29%20%5Ccdot%20g%27%28x%29%7D%7Bg%5E2%28x%29%7D%20[/IMG]
[/LEFT]


[SIZE=4][B][U]נגזרת פונקציית שורש[/U][/B][/SIZE]

[IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20f%28x%29%20%3D%20%5Csqrt%7Bg%28x%29%20%7D%20[/IMG]
[IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20f%27%28x%29%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%20%5Csqrt%7Bg%28x%29%7D%20%7D%20%5Ccdot%20g%27%28x%29%20[/IMG]


[SIZE=4][B][U]נגזרת של פונקציה מעריכית[/U][/B][/SIZE]

פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה : [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?f%28x%29%3Dma%5E%7Bg%28x%29%7D[/IMG]

כלומר הנעלם איקס נמצא בחזקה.



הנגזרת של הפונקציה זו מוגדרת על ידי : [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?f%27%28x%29%3Dg%27%28x%29%20%5Ccdot%20ma%5E%7Bg%28x%29%7D%20%5Ccdot%20lna%20[/IMG]


[SIZE=4][B][U]נגזרת פונקציה e[/U][/B][/SIZE]


[IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20f%28x%29%3D%20e%5E%7Bmx%7D%20[/IMG]
[IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20f%27%28x%29%20%3D%20m%20%5Ccdot%20e%5E%7Bmx%7D%20%5Ccdot%20lne%3Dm%20%5Ccdot%20e%5E%7Bmx%7D%20[/IMG]




[SIZE=4][B][U]נגזרת של פונקציות לוגירתמיות[/U][/B][/SIZE]


[IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?lnx%3Dlog_e%20x[/IMG]




[IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?y%3D%20log_%7Ba%20%7D%20%28g%28x%29%29%20[/IMG]


[IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20%5B%20log_e%20%28g%28x%29%29%5D%20%27%3D%5Bln%28g%28x%29%29%5D%27%20%3D%20%5Cfrac%7B%20g%27%28x%29%20%7D%7B%20g%28x%29%20%5Ccdot%20lne%20%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bg%28x%29%7D%20%5Ccdot%20g%27%28x%29%20[/IMG]


[B][/B]

[LEFT] [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20f%28x%29%3Dlnx%20%5C%20%5Crightarrow%20%5C%20%20f%27%28x%29%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D[/IMG]
[IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20f%28x%29%3Dlog%285x%29%20%5C%20%5Crightarrow%20%5C%20%20f%27%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B5x%7D%20%5Ccdot%205%20%5Ccdot%20loge%20[/IMG]
[IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20f%28x%29%3Dlnx%5E2%20%5C%20%5Crightarrow%20%5C%20%20f%27%28x%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%5E2%7D%20%5Ccdot%202x%20%3D%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bx%7D[/IMG]




[CENTER][SIZE=4][B][U]נגזרת של פונקציות טריגנומטריות[/U][/B][/SIZE][/CENTER]
[/LEFT]


[SIZE=4][U][B]נגזרת סינוס[/B][/U][/SIZE]

[LEFT] [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20%5Bsin%28f%28x%29%29%5D%27%3Df%27%28x%29cos%28f%28x%29%29%20[/IMG]
[IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20%5Bsinx%5D%27%3Dcosx%20[/IMG]


[CENTER][SIZE=4][B][U]נגזרת קוסינוס[/U][/B][/SIZE]

[/CENTER]
[LEFT] [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Bcos%5Bf%28x%29%5D%5D%27%3D-f%27%28x%29sin%5Bf%28x%29%5D[/IMG]


[CENTER][U][SIZE=4]נגזרת טנגנס[/SIZE][/U]
[/CENTER]
[/LEFT]
[CENTER] [/CENTER]
[/LEFT]


[LEFT] [IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%5Btngx%5D%27%3D%5B%5Cfrac%7Bsinx%7D%7Bcosx%7D%5D%27%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bcos%5E2x%7D%20[/IMG]


[CENTER][SIZE=4][B][U]נגזרת קוטנגס[/U][/B][/SIZE]


[IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20cotx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Btgx%7D%20[/IMG]
[IMG]http://www.emath.co.il/cgi-bin/mimetex.cgi?%20%5Bcotx%5D%27%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bsin%5E2x%7D%20[/IMG] [/CENTER]
[/LEFT]


[/CENTER]
[/LEFT]