יום פאי שמח!

שלום לכולכם,

היום ה-14/03 הוא יום הפאי. בנושא הזה אני אספר הרבה מאוד דברים על פאי לא בהכרח באיזשהו קשר רעיוני.

[LIST=1][*]פאי, כידוע לכולם, הוא היחס בין היקף המעגל לקוטר שלו. למעשה, הגדרה אולי מעט יותר מדוייקת של פאי (או לפחות כזאתי שאני גיליתי שאפשר לעבוד איתה ומאפשרת לפתח את כל התכונות) היא: "פאי הוא המספר החיובי הקטן ביותר p המקיים cos(p/2) = 0".[*]פאי, כידוע לכולכם הוא מספר אי רציונלי, כלומר שום מנה בין מספרים שלמים אינה שווה לפאי. העובדה הזו קשה להוכחה כשהם שהיא מוכרת לכולכם. הוכחות לכך שפאי הוא אי רציונלי התחילו להופיע במאה ה-18, כשבשנת 1882 המתמטיקאי Linedemann הוכיח משהו חזק יותר: לא רק שפאי אינו מספר רציונלי, הוא גם אינו מספר אלגברי. (כלומר, פאי אינו שורש של שום פולינום במקדמים שלמים. למשל שורש 2 הוא מספר אי רציונלי, אך הוא שורש של הפולינום הבא במקדמים שלמים x[SUP]2[/SUP]-2. באופן כללי פולינום הוא ביטוי מהצורה a[SUB]1[/SUB]x[SUP]n[/SUP]+a[SUB]2[/SUB]x[SUP]n-1[/SUP]+...a[SUB]n[/SUB]x+a[SUB]n+1[/SUB])[*]העובדה שפאי אינו אלגברי נתנה מענה לשאלה עתיקת יומין, שאלת "תרבוע העיגול": בהינתן ריבוע, לבנות בעזרת סרגל ומחוגה עיגול ששטחו שווה לשטח הריבוע. מאחר ופאי אינו אלגברי, בנייה כזו היא בלתי אפשרית.[*]העובדה שפאי אינו רציונלי אומרת כמובן שאי אפשר לחשב אותו עד הסוף. אבל בימי קדם, כדי לחדד את ההבנה של המספר פאי ניסו להגדיל את הדיוק בו היה ידוע. אחד המרכזיים שעסק בתחום היה ארכימדס, שניסה לקרב את פאי בעזרת מצולעים משוכללים (שעם מספר רב של צלעות הולכים ונהיים קרובים יותר למעגל, ואז הוא קרב את היחס בין ההקף לקוטר בעזרת המצולעים האלו). כמו כן, על פי האגדה המפורסמת ארכימדס מצא את מותו בשעה שעסק במעגלים, במהלך פשיטה רומית. ארכימדס הבחין בחייל הרומי, אמר לו "התרחק מהמעגלים שלי", והחייל הרומי התעצבן והרג אותו, אף על פי שקיבלו הוראה שלא להרוג את ארכימדס. זה אמנם פחות קשור לפאי אבל אני לא צריך סיבה כדי לספר את הסיפור הנפלא הזה.[*]בעזרת פאי, מוגדרת יחידת מדידת הזוויות ההגיונית יותר, הרדיאן. הגדרת הרדיאן מתבססת על כך שזווית מרכזית כלשהי במעגל, מקצה על המעגל קשת באורך שפרופורציוני לזוית המרכזית. ולכן ניתן למדוד זוויות ב"איזה חלק מהמעגל מקצה קשת מסויימת". היחידה הזו, מבחינה מתמטית, היא הרבה יותר טבעית והגיונית, ולא מופיעים בה מספרים שרירותיים כמו "360" (במעלות) או "400" (בגראדים, יחידת מידה צרפתית שאני לא חושב שבשימוש כל כך כיום).[*]הקשר של פאי לזוויות ומעגלים גורם לו להופיע במספר נוסחאות מרכזיות בתורת הפונקציות של מספרים מרוכבים. לכן המספר פאי מופיע בכל מקום. למשל, טענה מוכרת היא שסכום המספרים 1+1/2+1/3+1/4+... הוא אינסוף, אך סכום המספרים 1+1/2[SUP]2[/SUP]+1/3[SUP]2[/SUP]+1/4[SUP]2[/SUP]+.... הוא סופי, אך לא ברור מה הוא ערכו. מסתבר שהסכום הזה שווה ל pi[SUP]2[/SUP]/6. עובדה אחרת המוכרת לאנשים המתעסקים בסטטיסטיקה: בהתפלגות נורמלית כופלים את הפונקציה ב 2 חלקי שורש פאי. הסיבה לכך היא שאינטגרל ממינוס אינסוף עד אינסוף של הפונקציה e[SUP]-x^2 [/SUP]הוא שורש פאי.[*]אחת הנוסחאות המפורסמות ביותר במתמטיקה (למרות אולי שהיא לא מחדשת יותר מדי מבחינה מתמטית) היא נוסחת אויילר שקובעת: e[SUP]i*pi[/SUP]+1 = 0, כשi הוא שורש של מינוס אחד. היופי בנוסחא הזו היא שהיא קושרת בין 5 קבועים בסיסיים של המתמטיקה: e מספר שמקורו בערך מאנליזה,pi שהוא מספר שמקורו גיאומטרי,i מספר שמקורו אלגברי, היחידה הכפלית 1, והיחידה החיבורית 0, ואת ארבע פעולות החשבון היסודיות: חיבור, כפל, העלאה בחזקה, ושיוויון, וכל אחד מהם מופיע בדיוק פעם אחת. הנוסחא הזו גם שימשה פעם כראיה במשפט. באוגוסט 2003 הותקפו מספר סוכנויות רכב בלוס אנג'לס, ועל המכוניות הותרו כל מיני כתובות גרפיטי כמו "זוללת דלק" ו-"רוצחת". על אחת המכוניות הושארה הנוסחא הזו. היא שימשה כרמז וכראיה כנגד סטודנט לתואר מתקדם בפיזיקה תאורטית במכון הטכנולוגי של קליפורניה. במשפטו הסביר שכתב את הנוסחא הזו מאחר שכולם צריכים לדעת את היופי שטמון בה.[*]יש יום בשנה שנותן תוצאה יותר קרובה לפאי מאשר ה-14 למרץ, והוא ה-22/07. ערך השבר הזה מתחיל בביטוי 3.1428, בעוד שפאי ממשיך ב-3.1415. לכן הקרוב 22/7 מרוחק עד כדי 0.0013 בעוד שהערך 3.14 מרוחק מהערך האמיתי עד כדי 0.0015. יום זה גם מצויין בידי פריקים מתמטיים, ונקרא "יום קירוב הפאי".[*]בכיתה ו' בחג הפורים שגם אז חל בסמיכות ליום הפאי, התחפשי לפאי: (תמונה בספויילר)[/LIST]
[SPOILER][IMG]https://imagizer.imageshack.us/v2/800x600q90/59/imag0046tb.jpg[/IMG]
[/SPOILER]


זהו. זה נראה לי בערך כל מה שרציתי לאמר. קרדיט ל"הרחבת שדות ותורת גלואה" של אברהם גינזבורג, האוניברסיטה הפתוחה ול"המשוואות הגדולות" של רוברט פ' קריז הוצאת כתר שלקחתי מהם קצת מידע, ותודה לאמא שלי שצילמה אותי לפני שמונה שנים, ולכל אלו שסייעו בהכנת התחפושת.

יום פאי שמח! שתזכו לספרה הבאה!

[IMG]http://i.stack.imgur.com/r5UpG.gif[/IMG]

יום פאי שמח!

חחחחחח יום מעניין ,חשבתי שהתכוונת למאכל פאי על פי השם של הנושא..........

יום פאי שמח.
לא הבנתי כלום...
חוץ מזה שהוא שווה ל3.1415

אם לא הבנת ואתה רוצה להבין תשאל שאלות קונקרטיות ואני אשמח לפרט יותר. קצת קשה לפרט הכל לרמה פשוטה כשרוצים להספיק לספר הרבה נושאים.

ו.. הדבר היחיד שהבנת לא נכון. ה-4 ספרות הראשונות של פאי הן 1415, אבל יש אינסוף ספרות וידועים היום רק כטריליון או משהו. אני יודע בעל פה 55 ספרות: 3.14159-26535-89793-23846-26433-83279-50288-41971-69399-37510-52809

[QUOTE=LordAbizi;1467591]אם לא הבנת ואתה רוצה להבין תשאל שאלות קונקרטיות ואני אשמח לפרט יותר. קצת קשה לפרט הכל לרמה פשוטה כשרוצים להספיק לספר הרבה נושאים.

ו.. הדבר היחיד שהבנת לא נכון. ה-4 ספרות הראשונות של פאי הן 1415, אבל יש אינסוף ספרות וידועים היום רק כטריליון או משהו. אני יודע בעל פה 55 ספרות: 3.14159-26535-89793-23846-26433-83279-50288-41971-69399-37510-52809[/QUOTE]

אני יודע את זה וגם שזה בא לחשב משהו של שטח מעגל כפול היקף מעגל (תקן אותי אם אני טועה)
ואתה אשכרה יודע 55 ספרות?

כן.. את הספרות שכתבתי כאן אני יודע בעל פה.
ואכן לפאי יש קשר הדוק לשטח ולהיקף של מעגל. ההיקף של מעגל הוא פאי כפול הקוטר שלו, והשטח של עיגול זה פאי כפול ריבוע הרדיוס שלו.
להמחשה של זה שזה ההיקף תסתכל על האנימציה של רותם. בהתחלה מצויירים לך כמה מעגלים אדומים, ומהם אתה מסיק ש-2 זה הקוטר של המעגל. כעת תסכל על הנקוה האדומה שזזה. אתה רואה שכשהיא חוזרת לנקודה האדומה של הציר היא עשתה סיבוב מלא, כלומר היא עברה את מלוא אורך ההיקף. בינתיים העיגול עצמו הספיק לעבור 2 פאי על הציר. כלומר אם אתה "פורש את המעגל" על הציר אתה מקבל שאורכו הוא 2 פאי. לכן היחס בין ההיקף לרדיוס הוא שני פאי.
אגב, פאי גם מוזכר בעקיפין בתנ"ך: בתיאור המימדים של איזשהי ברכה בבית המקדש, איפשהו כתוב שאורכה היה 10 אמות, והיקפה 30 אמות. מן הפסוק הזה ניתן להבין שהעם היהודי ידע אז את הקרוב פאי = 3.

[QUOTE=LordAbizi;1467601]כן.. את הספרות שכתבתי כאן אני יודע בעל פה.
ואכן לפאי יש קשר הדוק לשטח ולהיקף של מעגל. ההיקף של מעגל הוא פאי כפול הקוטר שלו, והשטח של עיגול זה פאי כפול ריבוע הרדיוס שלו.
להמחשה של זה שזה ההיקף תסתכל על האנימציה של רותם. בהתחלה מצויירים לך כמה מעגלים אדומים, ומהם אתה מסיק ש-2 זה הקוטר של המעגל. כעת תסכל על הנקוה האדומה שזזה. אתה רואה שכשהיא חוזרת לנקודה האדומה של הציר היא עשתה סיבוב מלא, כלומר היא עברה את מלוא אורך ההיקף. בינתיים העיגול עצמו הספיק לעבור 2 פאי על הציר. כלומר אם אתה "פורש את המעגל" על הציר אתה מקבל שאורכו הוא 2 פאי. לכן היחס בין ההיקף לרדיוס הוא שני פאי.
אגב, פאי גם מוזכר בעקיפין בתנ"ך: בתיאור המימדים של איזשהי ברכה בבית המקדש, איפשהו כתוב שאורכה היה 10 אמות, והיקפה 30 אמות. מן הפסוק הזה ניתן להבין שהעם היהודי ידע אז את הקרוב פאי = 3.[/QUOTE]
אני ארצה להוסיף על מה שאמרת לגבי התנ"ך

[RIGHT][COLOR=#000000][FONT=Arial]בספר מלכים א פרק ז בתיאור הים שעשה שלמה המלך כתוב "וַיַּעַשׂ אֶת הַיָּם מוּצָק עֶשֶׂר בָּאַמָּה מִשְּׂפָתוֹ עַד שְׂפָתוֹ עָגֹל סָבִיב וְחָמֵשׁ בָּאַמָּה קוֹמָתוֹ וְקָוה {וְקָו} שְׁלֹשִׁים בָּאַמָּה יָסֹב אֹתוֹ סָבִיב"[/FONT][/COLOR]
[COLOR=#000000][FONT=Arial]המשמעות הפשוטה היא שיחס בין היקף לקוטר הוא אחד לשלוש. אבל בגמרא מובא שהיחס הזה לא מדויק כל כך[/FONT][/COLOR]
[COLOR=#000000][FONT=Arial]חכמי הרמז מצאו את היחס המדויק רמוז דוקא בפסוק זה עצמו באופן די מפתיע. הרמז הוא כל כך מדויק עד הנקודה האחרונה.[/FONT][/COLOR]
[COLOR=#000000][FONT=Arial]בפסוק זה יש קרי וכתיב. הקריאה היא "קו" והכתוב הוא "קוה". יש תמיד צורך להסביר למה נכתב אמרת ממה שקוראים. [/FONT][/COLOR]
[COLOR=#000000][FONT=Arial]כאן הקרי וכתיב רומזים אל ההיקף המדויק. הקו המקיף הוא שלושים אמה. וקו האורך הוא עשר אמות. [/FONT][/COLOR]

[COLOR=#000000][FONT=Arial]"קוה" שכתוב בגימטריה זה 111 . כפול שלוש הרמוז בפסוק כהיקף מחושב נכון ונקבל 333.[/FONT][/COLOR]
[COLOR=#000000][FONT=Arial]333 שמחולק ל"קו" שקוראים בפסוק דהיינו מחלקים ל-106 נקבל את החישוב המדויק של הפאי 3.14[/FONT][/COLOR][/RIGHT]

ופרט לצירופי המקרים האלו, קראתי גם הסבר שלשפה של הברכה היה עובי, ולכן יכול להיות שלא כל המדידות האלו מתייחסות לאותו המעגל.

הקפצה כי רלוונטי שוב. לא חוקי? לא מעניין אותי! Screw The Rules! I'm doing what is right!

רגע הפאי השנה הוא כנראה ב-03/14/15 בשעה 9:26:53.58979.... (3.14159265358979....)

יום פאי שמח ללורד אביזי ושאר החוגגים
עוד זוכר את 55 הספרות בעפ?

[QUOTE=Lili' Snorlax;1472432]יום פאי שמח ללורד אביזי ושאר החוגגים
עוד זוכר את 55 הספרות בעפ?[/QUOTE]
אתן לך פאי לפרצוף זה מה שאתן

וואלה שנה שעברה הייתה לי מתכונת במתמטיקה ביום הפאי

יום פאי שמח!
[IMG]http://www.flyparsons.org/piday1.gif[/IMG]

כמעט שכחתי
אני צריכה להתבייש :(

יום פאי שמח גם היום!