שאלה בנושא קבוצות סדורות חלקית והלמה של צורן

[quote=LordAbizi;1008279]אבל מי אמר ששרשרת היא בת מנייה? מי אמר שכל שרשרת היא כזאתי? אולי היא סדורה באומגה פלוס 1 (ה-1 מימין לאומגה) או משהו מוזר כזה?[/quote]
מי אמר שהשרשרת חייבת להיות בת מנייה?

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1008280]מי אמר שהשרשרת חייבת להיות בת מנייה?[/quote]
אתה טענת שאם B שרשרת, אז איבריה הן בהכרח קבוצות שניתן למספר אותן A1,A2,A3... כלומר, הנחת באופן סמוי ש-B בת מניה. ויש דוגמא, למשל ב-P(Q) לשרשרת שאינה בת מנייה. וגם אם השרשרת בת מנייה, זה עדיין לא אומר שהיא מסודרת ככה. יכול להיות שיש נגיד סדרה כזו, ואז האיחוד שלהן הוא התחלה של עוד סדרה כזו, והאיחוד שלהם מתחיל סדרה כזו, וכך הלאה.

[quote=LordAbizi;1008299]אתה טענת שאם B שרשרת, אז איבריה הן בהכרח קבוצות שניתן למספר אותן A1,A2,A3... כלומר, הנחת באופן סמוי ש-B בת מניה. ויש דוגמא, למשל ב-P(Q) לשרשרת שאינה בת מנייה. וגם אם השרשרת בת מנייה, זה עדיין לא אומר שהיא מסודרת ככה. יכול להיות שיש נגיד סדרה כזו, ואז האיחוד שלהן הוא התחלה של עוד סדרה כזו, והאיחוד שלהם מתחיל סדרה כזו, וכך הלאה.[/quote]
אוקי, צודק.
בגלל ש-X בת מנייה אפשר להגיד שגודל של שרשרת כזאת חסום בגודל של השרשרת הבאה:
מתחילים מהקבוצה הריקה ומוסיפים כל הזמן איבר אחד עד שמגיעים ל-X.
הגודל של השרשרת הזאת הוא הגדול של X שהיא בת מנייה...

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1008305]אוקי, צודק.
בגלל ש-X בת מנייה אפשר להגיד שגודל של שרשרת כזאת חסום בגודל של השרשרת הבאה:
מתחילים מהקבוצה הריקה ומוסיפים כל הזמן איבר אחד עד שמגיעים ל-X.
הגודל של השרשרת הזאת הוא הגדול של X שהיא בת מנייה...[/quote]
משהו בטענה הזו חייב להיות לא טוב, כי הנה דוגמא לשרשרת לא בת מנייה ב-P(Q) (כאן X = Q בת מנייה)
A = קבוצת כל הקטעים ממספר ממשי כלשהו a עד אינסוף, חיתוך Q, וזאת לכל a ב-R.
זוהי כמובן שרשרת, וכמובן אינה בת מנייה. לכן הטיעון הזה לא עובד.

[quote=LordAbizi;1008309]משהו בטענה הזו חייב להיות לא טוב, כי הנה דוגמא לשרשרת לא בת מנייה ב-P(Q) (כאן X = Q בת מנייה)
A = קבוצת כל הקטעים ממספר ממשי כלשהו a עד אינסוף, חיתוך Q, וזאת לכל a ב-R.
זוהי כמובן שרשרת, וכמובן אינה בת מנייה. לכן הטיעון הזה לא עובד.[/quote]
יש לי רעיון אחד בשבילך.
תנסה להוכיח טענה יותר חזקה מהלמה של צורן...
אם לכל שרשרת בת מנייה יש חסם מלעיל אז בקבוצה יש איבר מקסימלי.

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1008316]יש לי רעיון אחד בשבילך.
תנסה להוכיח טענה יותר חזקה מהלמה של צורן...
אם לכל שרשרת בת מנייה יש חסם מלעיל אז בקבוצה יש איבר מקסימלי.[/quote]
הממ...גם אם זה נכון, אני עדיין לא יכול אפילו להוכיח שלכל שרשרת בת מנייה ב-Y יש את הצורה הזו. יכול להיות שיש איבר אחד שגדול מכולם שם, ואז עוד אינסוף איברים אחריו, ואז איבר שגדול מכולם, ואז עוד אינסף אחריו, וכך הלאה עד אינסוף...

[quote=LordAbizi;1008319]הממ...גם אם זה נכון, אני עדיין לא יכול אפילו להוכיח שלכל שרשרת בת מנייה ב-Y יש את הצורה הזו. יכול להיות שיש איבר אחד שגדול מכולם שם, ואז עוד אינסוף איברים אחריו, ואז איבר שגדול מכולם, ואז עוד אינסף אחריו, וכך הלאה עד אינסוף...[/quote]
ע"פ ההגדרה של Y לכל שרשרת בת מנייה ב-Y יש חסם מלעיל...

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1008326]ע"פ ההגדרה של Y לכל שרשרת בת מנייה ב-Y יש חסם מלעיל...[/quote]
מה פתאום? ההגדרה של Y אומרת שם יש תת קבוצה של Y, שאפשר לסדר אותה כמו המספרים הטבעיים, כך ש-n<m אם ורק אם An<Am, אז איחוד כולן ב-Y. אבל מה אם אני לוקח איזשהי סדרה עולה, איחוד איבריה, אחר כך ממשיך להוסיף לאיחוד עוד איברים, יוצר עוד סדרה עולה, מאחד את כל איבריה, וממשיך הלאה כך עד אינסוף? מי אמר שלמפלצת כזאת יש חסם מלעיל (ב-Y)?

[quote=LordAbizi;1008328]מה פתאום? ההגדרה של Y אומרת שם יש תת קבוצה של Y, שאפשר לסדר אותה כמו המספרים הטבעיים, כך ש-n<m אם ורק אם An<Am, אז איחוד כולן ב-Y. אבל מה אם אני לוקח איזשהי סדרה עולה, איחוד איבריה, אחר כך ממשיך להוסיף לאיחוד עוד איברים, יוצר עוד סדרה עולה, מאחד את כל איבריה, וממשיך הלאה כך עד אינסוף? מי אמר שלמפלצת כזאת יש חסם מלעיל (ב-Y)?[/quote]
מתישהו אתה תגיע ל-X...

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1008335]מתישהו אתה תגיע ל-X...[/quote]
על שום מה?
ניקח נגיד שרשרת כזאת ב-P(Q) :
קבוצה ריקה, קבוצה עם 0 בלבד, קבוצה עם 0 ו-1/2 קבוצה עם 0, 1/2 ו-2/3, וכך הלאה.
עכשיו, אני לוקח את כל הדברים מהצורה 1 פחות 1 חלקי n, ומוסיף להם 1 בסוף, ואז חוזר על התהליך. עכשיו לכל זה אני מוסיף 2 בסוף. וכך הלאה.
ככה, אני מגיע רק למספרים רציונליים חיוביים, שלא לדבר על שליליים...

[quote=LordAbizi;1008345]על שום מה?
ניקח נגיד שרשרת כזאת ב-P(Q) :
קבוצה ריקה, קבוצה עם 0 בלבד, קבוצה עם 0 ו-1/2 קבוצה עם 0, 1/2 ו-2/3, וכך הלאה.
עכשיו, אני לוקח את כל הדברים מהצורה 1 פחות 1 חלקי n, ומוסיף להם 1 בסוף, ואז חוזר על התהליך. עכשיו לכל זה אני מוסיף 2 בסוף. וכך הלאה.
ככה, אני מגיע רק למספרים רציונליים חיוביים, שלא לדבר על שליליים...[/quote]
לאו דווקא ל-X אבל לאיזשהו תת קבוצה של X שהיא בעצם בת מנייה...