שאלה בנושא קבוצות סדורות חלקית והלמה של צורן

נתונה קבוצה X בת מניה, ונתונה Y תת קבוצה של P(X) המקיימת את התכונה הבאה:
אם A1,A2,A3,.... קבוצות ב-Y ומקיימות
An < A(n+1) (> פירושו מוכל ממש)
אז גם האיחוד של כל הקבוצות האלה איבר של Y.
הוכח שיש ב-Y איבר מקסימלי (כלומר, שיש איבר שאף איבר אחר לא מכיל אותו ממש).

תנסה ללכת בכיוון הבא (זה הכיוון הראשון שעולה לי בראש):
תיקח אוסף של אינסופי של קבוצות A1,a2... המקיימות את הדרוש(כך שהa האחרון הוא X ו-a1 הוא קבוצה ריקה), כעת ידוע לך שהאיחוד של הקבוצות האלו הוא איבר בy, כלומר X מוכל ב-y, מכיוון ש-y=p(x) לא הגיוני שתהיה קיימת קבוצה ב-y שמכילה ממש את X.
נראה לי שזה נכון ואשמח אם תתקן אותי D:

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1005140]תנסה ללכת בכיוון הבא (זה הכיוון הראשון שעולה לי בראש):
תיקח אוסף של אינסופי של קבוצות A1,a2... המקיימות את הדרוש(כך שהa האחרון הוא X ו-a1 הוא קבוצה ריקה), כעת ידוע לך שהאיחוד של הקבוצות האלו הוא איבר בy, כלומר X מוכל ב-y, מכיוון ש-y=p(x) לא הגיוני שתהיה קיימת קבוצה ב-y שמכילה ממש את X.
נראה לי שזה נכון ואשמח אם תתקן אותי D:[/quote]
מי אמר שקבוצה ריקה ו-X איברים של Y? Y היא תת קבוצה כלשהי של P(X) המקיימת תכונה מסויימת, ומעבר לזה לא ידוע עליה כלום.

[quote=LordAbizi;1005142]מי אמר שקבוצה ריקה ו-X איברים של Y? Y היא תת קבוצה כלשהי של P(X) המקיימת תכונה מסויימת, ומעבר לזה לא ידוע עליה כלום.[/quote]
לא שמתי לב לעובדה ש-Y [B]מוכלת[/B] ב-P(X) אבל בעצם זכור לי משפט שעל-פיו לקבוצה כזאת קיימת קבוצה דומה לה עד כדי העתקה חח"ע ועל כך שZ=P(X1).
ומכאן אפשר להוכיח על אותו עיקרון עם Z ו-X1...

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1005146]לא שמתי לב לעובדה ש-Y [B]מוכלת[/B] ב-P(X) אבל בעצם זכור לי משפט שעל-פיו לקבוצה כזאת קיימת קבוצה דומה לה עד כדי העתקה חח"ע ועל כך שZ=P(X1).
ומכאן אפשר להוכיח על אותו עיקרון עם Z ו-X1...[/quote]
מה מה מה? אתה טוען שקיימת קבוצה X1 כך ש-Z=P(X1) שקולה ל-Y? איך זה עוזר? מה זה קשור? אודה לך אם תתאר את זה לאט יותר.

[quote=LordAbizi;1005149]מה מה מה? אתה טוען שקיימת קבוצה X1 כך ש-Z=P(X1) שקולה ל-Y? איך זה עוזר? מה זה קשור? אודה לך אם תתאר את זה לאט יותר.[/quote]
קיימת קבוצה Z וקבוצה X1 כך שZ שקולה לY וZ=P(X1).
כעת, אם נוכיח שקיים איבר מקסימלי ב-Z נקבל שב-Y גם קיים כזה (כי הם שקולות אז התכונות של Z הן גם תכונות של Y).

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1005156]קיימת קבוצה Z וקבוצה X1 כך שZ שקולה לY וZ=P(X1).
כעת, אם נוכיח שקיים איבר מקסימלי ב-Z נקבל שב-Y גם קיים כזה (כי הם שקולות אז התכונות של Z הן גם תכונות של Y).[/quote]
אבל.... אם |Y| היא 0א? אז אם X1 סופית אז Z סופית, ואם היא אינסופית, אז עצמת Z גדולה מ- או שווה ל-א.

[quote=LordAbizi;1005158]אבל.... אם |Y| היא 0א? אז אם X1 סופית אז Z סופית, ואם היא אינסופית, אז עצמת Z גדולה מ- או שווה ל-א.[/quote]
במקרה זה מן הסתם X1 תהיה סופית...

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1005160]במקרה זה מן הסתם X1 תהיה סופית...[/quote]
מה..?
אם X1 סופית אז P(X1) סופית, ולכן גם Z סופית (הגדרתך) ואז לא יתכן ש-Z שקולה ל-Y, כי |Y| היא 0א.
אם X1 אינסופית, אז P(X1) לפחות מעצמה א, ולכן גם Z מעצמה גדולה או שווה ל-א, ושוב לא ייתכן ש-Z שקולה ל-Y (לכן אפשר גם לאמר שעצמת Y היא בין 0א עד ל-א, כי אנחנו עדיין לא יודעים אם קיימות עצמות כאלה או לא)

[quote=LordAbizi;1005161]מה..?
אם X1 סופית אז P(X1) סופית, ולכן גם Z סופית (הגדרתך) ואז לא יתכן ש-Z שקולה ל-Y, כי |Y| היא 0א.
אם X1 אינסופית, אז P(X1) לפחות מעצמה א, ולכן גם Z מעצמה גדולה או שווה ל-א, ושוב לא ייתכן ש-Z שקולה ל-Y (לכן אפשר גם לאמר שעצמת Y היא בין 0א עד ל-א, כי אנחנו עדיין לא יודעים אם קיימות עצמות כאלה או לא)[/quote]
צודק, התבלבלתי:sorry:
זה מה שקורה כשאתה שקוע בלימודים למבחנים של תואר שני:um_face:
תנסה אולי לקחת את הקבוצה הקטנה ביותר (מבחינת עוצמה ב-Y) ותיקח אינסוף קבוצות כך שאחת מוכלת בשנייה (יכול להיות שהיא סופית ואז סיימנו ע"פ הלמה של צורן).
זאת שרשרת אינסופית ב-Y שמקיימת את הדרוש(הכלה של ה-n ב-n+1) אזי גם איחוד של כולם(שמכיל את כולם) נמצא בקבוצה ובעצם הוא חסם המלעיל של השרשרת הנ"ל ולכן ע"פ הלמה של צורן קיבלת את הדרוש.
אם הבנתי נכון את הגדרת הלמה של צורן שהגדירו אצליכם בקורס..

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1005170]צודק, התבלבלתי:sorry:
זה מה שקורה כשאתה שקוע בלימודים למבחנים של תואר שני:um_face:
תנסה אולי לקחת את הקבוצה הקטנה ביותר (מבחינת עוצמה ב-Y) ותיקח אינסוף קבוצות כך שאחת מוכלת בשנייה (יכול להיות שהיא סופית ואז סיימנו ע"פ הלמה של צורן).
זאת שרשרת אינסופית ב-Y שמקיימת את הדרוש(הכלה של ה-n ב-n+1) אזי גם איחוד של כולם(שמכיל את כולם) נמצא בקבוצה ובעצם הוא חסם המלעיל של השרשרת הנ"ל ולכן ע"פ הלמה של צורן קיבלת את הדרוש.
אם הבנתי נכון את הגדרת הלמה של צורן שהגדירו אצליכם בקורס..[/quote]
בלמה של צורן אצלינו צריך לקחת שרשרת כלשהי, ולהוכיח שיש לה חסם מלעיל.
אתה לקחת שרשרת ספיציפית והוכחת שיש לה חסם מלעיל. (להסיר ספק, שרשרת היא תת קבוצה של הקבוצה עליה מדברים, כך שהיחס הסדר הוא מלא עליה)
הכיוון המתבקש הוא לקחת שרשרת B ב-Y. אם B סופית, אז יש בה איבר גדול ביותר, וברור שהוא חסם מלעיל ל-B שנמצא ב-Y.
עכשיו מה לעזאזל קורה אם היא אינסופית? אני משער, שאפשר איכשהו לקבל שעצמתה לא יכולה להיות גדולה מ-0א, בגלל הנתון על X. [B]עריכה:[/B] [B]שטויות במיץ, יש שרשראות מעצמה א ב-P(Q) אז אי אפשר לעשות את זה.[/B] לכן נניח שאפשר לקבל את זה שעצמת B היא 0א. השאלה איך זה עוזר והאם מכאן אפשר לקבל את זה. (כי עדיין ייתכן ש-B היא לא קו ישר יפה כזה כמו אלה שעליהם מדברים בשאלה, אלא יכול להיות שיש שם איבר גבוליים או כל מיני דברים כאלה...)

תיקח שרשרת אקראית ב- Y ותוכיח שהאיחוד שלה הוא חסם מלעיל שלה...

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1007529]תיקח שרשרת אקראית ב- Y ותוכיח שהאיחוד שלה הוא חסם מלעיל שלה...[/quote]
ברור שאיחוד כל איבריה הוא חסם מלעיל. השאלה היא, מדוע הוא בעצמו איבר של Y. (כי Y סגורה רק לאיחודים אינסופיים של סדרות עולות)

[quote=LordAbizi;1007858]ברור שאיחוד כל איבריה הוא חסם מלעיל. השאלה היא, מדוע הוא בעצמו איבר של Y. (כי Y סגורה רק לאיחודים אינסופיים של סדרות עולות)[/quote]
ע"פ ההגדרה שלה:
אם A1,A2,A3,.... קבוצות ב-Y ומקיימות
An < A(n+1) (> פירושו מוכל ממש)
אז גם האיחוד של כל הקבוצות האלה איבר של Y.

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1007977]ע"פ ההגדרה שלה:
אם A1,A2,A3,.... קבוצות ב-Y ומקיימות
An < A(n+1) (> פירושו מוכל ממש)
אז גם האיחוד של כל הקבוצות האלה איבר של Y.[/quote]
אבל מי אמר ששרשרת היא בת מנייה? מי אמר שכל שרשרת היא כזאתי? אולי היא סדורה באומגה פלוס 1 (ה-1 מימין לאומגה) או משהו מוזר כזה?

[quote=LordAbizi;1008279]אבל מי אמר ששרשרת היא בת מנייה? מי אמר שכל שרשרת היא כזאתי? אולי היא סדורה באומגה פלוס 1 (ה-1 מימין לאומגה) או משהו מוזר כזה?[/quote]
מי אמר שהשרשרת חייבת להיות בת מנייה?

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1008280]מי אמר שהשרשרת חייבת להיות בת מנייה?[/quote]
אתה טענת שאם B שרשרת, אז איבריה הן בהכרח קבוצות שניתן למספר אותן A1,A2,A3... כלומר, הנחת באופן סמוי ש-B בת מניה. ויש דוגמא, למשל ב-P(Q) לשרשרת שאינה בת מנייה. וגם אם השרשרת בת מנייה, זה עדיין לא אומר שהיא מסודרת ככה. יכול להיות שיש נגיד סדרה כזו, ואז האיחוד שלהן הוא התחלה של עוד סדרה כזו, והאיחוד שלהם מתחיל סדרה כזו, וכך הלאה.

[quote=LordAbizi;1008299]אתה טענת שאם B שרשרת, אז איבריה הן בהכרח קבוצות שניתן למספר אותן A1,A2,A3... כלומר, הנחת באופן סמוי ש-B בת מניה. ויש דוגמא, למשל ב-P(Q) לשרשרת שאינה בת מנייה. וגם אם השרשרת בת מנייה, זה עדיין לא אומר שהיא מסודרת ככה. יכול להיות שיש נגיד סדרה כזו, ואז האיחוד שלהן הוא התחלה של עוד סדרה כזו, והאיחוד שלהם מתחיל סדרה כזו, וכך הלאה.[/quote]
אוקי, צודק.
בגלל ש-X בת מנייה אפשר להגיד שגודל של שרשרת כזאת חסום בגודל של השרשרת הבאה:
מתחילים מהקבוצה הריקה ומוסיפים כל הזמן איבר אחד עד שמגיעים ל-X.
הגודל של השרשרת הזאת הוא הגדול של X שהיא בת מנייה...

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1008305]אוקי, צודק.
בגלל ש-X בת מנייה אפשר להגיד שגודל של שרשרת כזאת חסום בגודל של השרשרת הבאה:
מתחילים מהקבוצה הריקה ומוסיפים כל הזמן איבר אחד עד שמגיעים ל-X.
הגודל של השרשרת הזאת הוא הגדול של X שהיא בת מנייה...[/quote]
משהו בטענה הזו חייב להיות לא טוב, כי הנה דוגמא לשרשרת לא בת מנייה ב-P(Q) (כאן X = Q בת מנייה)
A = קבוצת כל הקטעים ממספר ממשי כלשהו a עד אינסוף, חיתוך Q, וזאת לכל a ב-R.
זוהי כמובן שרשרת, וכמובן אינה בת מנייה. לכן הטיעון הזה לא עובד.

[quote=LordAbizi;1008309]משהו בטענה הזו חייב להיות לא טוב, כי הנה דוגמא לשרשרת לא בת מנייה ב-P(Q) (כאן X = Q בת מנייה)
A = קבוצת כל הקטעים ממספר ממשי כלשהו a עד אינסוף, חיתוך Q, וזאת לכל a ב-R.
זוהי כמובן שרשרת, וכמובן אינה בת מנייה. לכן הטיעון הזה לא עובד.[/quote]
יש לי רעיון אחד בשבילך.
תנסה להוכיח טענה יותר חזקה מהלמה של צורן...
אם לכל שרשרת בת מנייה יש חסם מלעיל אז בקבוצה יש איבר מקסימלי.

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1008316]יש לי רעיון אחד בשבילך.
תנסה להוכיח טענה יותר חזקה מהלמה של צורן...
אם לכל שרשרת בת מנייה יש חסם מלעיל אז בקבוצה יש איבר מקסימלי.[/quote]
הממ...גם אם זה נכון, אני עדיין לא יכול אפילו להוכיח שלכל שרשרת בת מנייה ב-Y יש את הצורה הזו. יכול להיות שיש איבר אחד שגדול מכולם שם, ואז עוד אינסוף איברים אחריו, ואז איבר שגדול מכולם, ואז עוד אינסף אחריו, וכך הלאה עד אינסוף...

[quote=LordAbizi;1008319]הממ...גם אם זה נכון, אני עדיין לא יכול אפילו להוכיח שלכל שרשרת בת מנייה ב-Y יש את הצורה הזו. יכול להיות שיש איבר אחד שגדול מכולם שם, ואז עוד אינסוף איברים אחריו, ואז איבר שגדול מכולם, ואז עוד אינסף אחריו, וכך הלאה עד אינסוף...[/quote]
ע"פ ההגדרה של Y לכל שרשרת בת מנייה ב-Y יש חסם מלעיל...

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1008326]ע"פ ההגדרה של Y לכל שרשרת בת מנייה ב-Y יש חסם מלעיל...[/quote]
מה פתאום? ההגדרה של Y אומרת שם יש תת קבוצה של Y, שאפשר לסדר אותה כמו המספרים הטבעיים, כך ש-n<m אם ורק אם An<Am, אז איחוד כולן ב-Y. אבל מה אם אני לוקח איזשהי סדרה עולה, איחוד איבריה, אחר כך ממשיך להוסיף לאיחוד עוד איברים, יוצר עוד סדרה עולה, מאחד את כל איבריה, וממשיך הלאה כך עד אינסוף? מי אמר שלמפלצת כזאת יש חסם מלעיל (ב-Y)?

[quote=LordAbizi;1008328]מה פתאום? ההגדרה של Y אומרת שם יש תת קבוצה של Y, שאפשר לסדר אותה כמו המספרים הטבעיים, כך ש-n<m אם ורק אם An<Am, אז איחוד כולן ב-Y. אבל מה אם אני לוקח איזשהי סדרה עולה, איחוד איבריה, אחר כך ממשיך להוסיף לאיחוד עוד איברים, יוצר עוד סדרה עולה, מאחד את כל איבריה, וממשיך הלאה כך עד אינסוף? מי אמר שלמפלצת כזאת יש חסם מלעיל (ב-Y)?[/quote]
מתישהו אתה תגיע ל-X...

[quote=~גלואה Αυολακγ~;1008335]מתישהו אתה תגיע ל-X...[/quote]
על שום מה?
ניקח נגיד שרשרת כזאת ב-P(Q) :
קבוצה ריקה, קבוצה עם 0 בלבד, קבוצה עם 0 ו-1/2 קבוצה עם 0, 1/2 ו-2/3, וכך הלאה.
עכשיו, אני לוקח את כל הדברים מהצורה 1 פחות 1 חלקי n, ומוסיף להם 1 בסוף, ואז חוזר על התהליך. עכשיו לכל זה אני מוסיף 2 בסוף. וכך הלאה.
ככה, אני מגיע רק למספרים רציונליים חיוביים, שלא לדבר על שליליים...

[quote=LordAbizi;1008345]על שום מה?
ניקח נגיד שרשרת כזאת ב-P(Q) :
קבוצה ריקה, קבוצה עם 0 בלבד, קבוצה עם 0 ו-1/2 קבוצה עם 0, 1/2 ו-2/3, וכך הלאה.
עכשיו, אני לוקח את כל הדברים מהצורה 1 פחות 1 חלקי n, ומוסיף להם 1 בסוף, ואז חוזר על התהליך. עכשיו לכל זה אני מוסיף 2 בסוף. וכך הלאה.
ככה, אני מגיע רק למספרים רציונליים חיוביים, שלא לדבר על שליליים...[/quote]
לאו דווקא ל-X אבל לאיזשהו תת קבוצה של X שהיא בעצם בת מנייה...