נושא: הסבר: הפרדוקס של ראסל

רקע
ראסל (או בשמו המלא ברטראנד ראסל) היה פילוסוף ולוגיקן אשר חי בין השנים 1872-1970.
את פרדוקס זה (אשר נקרא על שמו) ראסל שלח למייסדה של הלוגיקה המתמטית, גוטלוב פרגה בשנת 1901. הפרדוקס עוסק בתורת הקבוצה האלמנטרית (כלומר, תורת הקבוצות בלי שום חוקים ואקסיומות).

רקע מתמטי
הפרדוקס מדבר על קבוצות אז בואו נגדיר מה זאת קבוצה:
"קבוצה היא אוסף של איברים אשר לא חייב להיות בינם קשר"
סימון: סוגריים מסולסלות אשר בתוכם ההגדרה של הקבוצה אם יש לה כלל מסוים או האיברים שלה אם אין כלל מסוים.
דוגמאות לקבוצה: {חתול, כלב}, {כלל המספרים הראשוניים} {כל המילים אשר מתחילות באות א' מתוך הא"ב} וכו'.

הפרדוקס עצמו
בפרדוקס עצמו ראסל החליט להשתמש בכך שאין חוקים בתורת הקבוצות הנ"ל והגדיר את ההגדרות הבאות:
1. קבוצה מוזרה היא קבוצה שמכילה את עצמה (כלומר, היא אחת מהאיברים של עצמה, אני יודע שזה מוזר אבל קבוצות אינסופיות הן דבר אפשרי גם בתורת הקבוצות האקסיומטית).
2. קבוצת כל הקבוצות הלא מוזרות=A.
ואז הוא החליט לבדוק: A מוזרה או לא מוזרה (לא יכול להיות משהו באמצע, נכון?).
אם A היא קבוצה מוזרה אזי היא מכילה את עצמה אבל היא מכילה אך ורק את הקבוצות הלא מוזרות ולכן קיבלנו סתירה.
אם כך, נשאר לנו לבדוק את האפשרות השנייה, A לא מוזרה:
אם A לא מוזרה אזי היא מכילה את עצמה מכיוון שהיא קבוצת כל הקבוצות הלא מוזרות אבל אם היא מכילה את עצמה היא מוזרה ועוד הפעם קיבלנו סתירה.

מסקנות
אם ככה, קיבלנו שA לא מוזרה ולא לא מוזרה וזאת סתירה לכל המתמטיקה ולכן תורת הקבוצות האלמנטרית לוקה בחסר, דבר זה מתקנים בתורת הקבוצות האקסיומטית אבל זה כבר יותר מתקדם.

(קרדיט לי-~גלואה Αυολακγ~ ולי בלבד על כל המידע, אין להעתיק הסבר זה ללא רשותי)

פרדוקס נחמד=) אהבתי...מעניין מה הכשל בו...

פורסם במקור על ידי Dor_T

פרדוקס נחמד=) אהבתי...מעניין מה הכשל בו...

הכשל הוא בעצם שאסור להגדיר מושג שנקרא "קבוצה מוזרה" אבל הסיבה לזה לומדים בקורסי תורת הקבוצות האקסיומטית או תורת הקבוצות (תלוי באיזו אוניברסיטה לומדים).

תודה רבה שהבארת,
גם שלפי זכרוני כבר הבאת עוד פעם
בכל מקרה תודה
כן הפרדוקס הזה היהי טוב ועשה שוק למתמטקאים בזמנו.

פורסם במקור על ידי הרוח המתמטקאית

תודה רבה שהבארת,
גם שלפי זכרוני כבר הבאת עוד פעם
בכל מקרה תודה
כן הפרדוקס הזה היהי טוב ועשה שוק למתמטקאים בזמנו.

*הבהרת

הבאתי אבל הוא לא היה מאורגן ולא מסודר כמו שצריך...
הוא עשה שוק וגרם לתחום חדש להגיע D: