מידע| נגזרת

**KittyM** · 07-19-2013, 03:20 PM

הנגזרת היא פעולה שנועדה למספר שימושים שונים:

*חישוב שיפוע משיק של פונקציה בנקודה מסויימת או מספר נקודות.
*מציאת נקודות קיצון של הפונקציה ופיתול.

$f'(x_0)=m$ כאשר m שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה שבה $x=x_0$

נגזרת פולינום( רב איבר)
הפונקציה $f(x) = mx^n$ אזי נגזרתה נתונה על ידי : $f'(x)=n \cdot mx^{n-1}$

פולינום מסדר אפס : $f(x)=a$ אזי : $f'(x)=0$

פולינום מסדר ראשון : $f(x) =ax+b$ אזי : $f'(x)= a$

תהי $f(x) = 5x^4$ אזי : $f'(x)= 20x^3$

כמו כן, אם נגדיר פונקציה חדשה : $g(x) =5 \cdot f(x)$ אזי קבוע המוכפל בפונקציה נשאר במקומו ולא משתנה, כלומר : $g'(x) = 5 \cdot f'(x)$ .

דוגמאות:

y=x^5+66

y'=5x^4

y=6x^2+2x+5
y'=12x+2

גזירת סכום והפרש פונקציות

$h(x) = f(x) \pm g(x)$
אז : $h'(x) = f'(x) \pm g'(x)$

נגזרת מכפלה

גזרת מכפלת שתי פונקציות נתונה על ידי הנוסחא :

$[f(x) \cdot g(x)]'=f'(x) \cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

*גוזרים את הפונקציה הראשונה ומכפילים בשנייה ומחברים עם הפונקציה הראשונה כפול הנגזרת של הפונקציה השנייה .

נגזרת מנה

נגזרת המנה שתי פונקציות נתונה על ידי הנוסחא :

$[\frac{f(x)}{g(x)}]'=\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)}$

נגזרת פונקציית שורש

$f(x) = \sqrt{g(x) }$
$f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{g(x)} } \cdot g'(x)$

נגזרת של פונקציה מעריכית

פונקציה מעריכית היא פונקציה מהצורה : $f(x)=ma^{g(x)}$

כלומר הנעלם איקס נמצא בחזקה.

הנגזרת של הפונקציה זו מוגדרת על ידי : $f'(x)=g'(x) \cdot ma^{g(x)} \cdot lna$

נגזרת פונקציה e

$f(x)= e^{mx}$
$f'(x) = m \cdot e^{mx} \cdot lne=m \cdot e^{mx}$

נגזרת של פונקציות לוגירתמיות

$lnx=log_e x$

$y= log_{a } (g(x))$

$[ log_e (g(x))] '=[ln(g(x))]' = \frac{ g'(x) }{ g(x) \cdot lne } = \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x)$

$f(x)=lnx \ \rightarrow \ f'(x) = \frac{1}{x}$
$f(x)=log(5x) \ \rightarrow \ f'(x)=\frac{1}{5x} \cdot 5 \cdot loge$
$f(x)=lnx^2 \ \rightarrow \ f'(x)=\frac{1}{x^2} \cdot 2x = \frac{2}{x}$

נגזרת של פונקציות טריגנומטריות

נגזרת סינוס

$[sin(f(x))]'=f'(x)cos(f(x))$
$[sinx]'=cosx$

נגזרת קוסינוס

$[cos[f(x)]]'=-f'(x)sin[f(x)]$

נגזרת טנגנס

$[tngx]'=[\frac{sinx}{cosx}]'=\frac{1}{cos^2x}$

נגזרת קוטנגס

$cotx=\frac{1}{tgx}$
$[cotx]'=-\frac{1}{sin^2x}$

נושא: מידע| נגזרת

הגדרות נושא

מידע על הנושא

משתמשים שצופים באשכול

הרשאות